Contoh Soal dan Pembahasan Menghitung Luas Daerah

Desember 23, 2020

Contoh Soal dan Pembahasan Menghitung Luas Daerah

1. Perhatikan gambar di bawah!

rumus integral mencari luas daerah yang dibatasi dua kurva

Luas daerah yang diarsir pada gambar di atas dapat dinyatakan dengan rumus ….

$\textrm{A.} \; \; \; \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx + \int_{b}^{d} g(x) \; dx - \int_{b}^{c} f(x) \; dx$

$\textrm{B.} \; \; \; \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx + \int_{b}^{d} \left( g(x) - f(x) \right) \; dx$

$\textrm{C.} \; \; \; \int_{a}^{d} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx$

$\textrm{D.} \; \; \; \int_{a}^{d} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx - \int_{c}^{d} g(x) \; dx$

$\textrm{D.} \; \; \; \int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx + \int_{c}^{d} \left( g(x) - f(x) \right) \; dx$

Pembahasan:

Untuk mendapatkan luas daerah yang dibatasi kurva, dapat diperoleh dengan membagi luas daerah menjadi beberapa bagian.

Perhatikan gambar di bawah.

pembahasan luas daerah yang dibatasi dua kurva

Sehingga, luas daerah yang dibatasi integral dapat dicari melalui persamaan berikut.

$\int_{a}^{b} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx + \int_{b}^{d} g(x) \; dx - \int_{b}^{c} f(x)$

Jawaban: A

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 + 2x + 3 dan g(x) = 3 – x adalah … satuan luas.

A. 3
B. 4,5
C. 6
D. 7,5
E. 9

Pembahasan:
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menggambar fungsi f(x) dan g(x).

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menggambar fungsi f(x) dan g(x).

Fungsi f(x) merupakan fungsi kuadrat sehingga bentuk grafiknya berupa parabola, jika belum bisa menggambar grafik fungsi kuadrat bisa dibuka melalui halaman ini.

Fungsi g(x) merupakan fungsi garis lurus, cara menggambar grafik lurus dapat dilihat di sini.

contoh soal luas daerah yang dibatasi dua kurva

Gambar kedua fungsi dapat dilihat seperti berikut. Sebelumnya, akan dicari titik koordinat perpotongan fungsi f(x) dan g(x) terlebih dahulu. Caranya adalah sebagai berikut.

Titik potong kurva:

$x^{2} + 2x + 3 = 3 - x$

$x^{2} + 3x = 0$

$x \left( x + 3\right) = 0$

Diperoleh dua persamaan, yaitu x = 0 atau x + 3 = 0, sehingga

$x = 0 \rightarrow y = 3 - 0 = 3$

Atau

$x + 3 = 0$

$x = -3 \rightarrow y = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6$

Sehingga luas daerah yang dibatasi dua kurva seperti yang diberikan pada soal adalah sebagai berikut.

Selanjutnya, kita akan menghitung luas daerah tersebut, dengan batas a = – 3 dan b = 0.

$L = \int_{-3}^{0} \left( f(x) - g(x) \right) \; dx$

$= \int_{-3}^{0} \left( \left(x^{2} + 2x + 3 \right) - \left(3 - x \right) \right) \; dx$

$= \int_{-3}^{0} \left(x^{2} + 3x \right) \; dx$

$= \left[ \frac{1}{3}x^{3} + \frac{3}{2}x^{2} \right] _{-3}^{0}$

$= \left( \frac{1}{3} \left( 0\right)^{3} + \frac{3}{2}\left( 0\right)^{2} \right) - \left( \frac{1}{3} \left( -3 \right)^{3} + \frac{3}{2}\left( -3 \right)^{2} \right)$